3.0 КИНЕМАТИЧЕН АНАЛИЗ

<<назад съдържание® напред>>

Лабораторно упражнение № 2

Геометричен и Кинематичен анализ на елементарен

лостов механизъм

1. Теоретични предпоставки.

Геометричният анализ на механизмите се свежда до определяне на позициите на звената (чрез линейни и ъглови координати) спрямо равнината на стойката, при зададени положения на началните звена. Позициите на звената са строго дефинирани аналитични функции, с аргумент позицията на началното звено. Чрез геометричния анализ се решават следните видове задачи: 1.Определяне на положенията на изпълнителните звена с просто движение (координати на точка от звено, движещо се транслационно, или ъглова ориентация на ротиращо звено). 2. Определяне на траектории на точки от звена, извършващи общо равнинно движение. 3. Определяне на ориентацията на звена с общо равнинно движение. 4. Определяне на особени положения, за които механизмите притежават специални свойства (например нулеви скорости, рогови точки, гранични положения, максимални скорости или ускорения).

Зависимостта между преместванията на изпълнителното и водещото звено се нарича функция на положението[1]. Когато водещото звено е коляно, положението му се определя от ъглова координата j. Изпълнителното звено може да извършва транслация (напр. при коляно-мотовилков механизъм, синусен механизъм), или ротация (при четиришарнирен механизъм, кулисен механизъм). В първия случай позицията на изпълнителното звено се определя от линейна координата s и функцията на положението има вида

s=s(j). (2.1)

Във втория случай позицията на изпълнителното звено се задава чрез ъглова координата a, а функцията на положението е

a=a(j). (2.2)

Задачата на кинематичния анализ на механизмите се свежда до определяне на скоростите и ускоренията при зададени кинематични параметри на водещото звено. Ако изпълнителното звено извършва просто движение - транслация, скоростта на произволна негова точка се определя чрез диференциране на функцията на положението спрямо времето t, т. е.

, (2.3)

където

(2.4)

се нарича първа предавателна функция, а е ъгловата скорост на водещото звено. Ако изпълнителното звено извършва проста ротация, ъгловата му скорост w следва от израза

. (2.5)

Тук първата предавателна функция има вида

. (2.6)

Чрез още едно диференциране на (2.3) и (2.5) спрямо времето се получават изразите за ускорението a на произволна точка на изпълнително звено с транслационно движение

, (2.7)

или за ъгловото ускорение e на изпълнително звено с ротационно движение

(2.8)

Във формули (2.7) и (2.8) изразите

(2.9)

(2.10)

се наричат втори предавателни функции, а е ъгловото ускорение на водещото звено. Позициите и на водещото звено, за които функциите (2.1) или (2.2) имат екстремни стойности, определят т. нар. мъртви или крайни положения за звената с прости движения.

Геометрични характеристики на коляно-мотовилков механизъм с начално звено коляно.

Коляно-мотовилковият механизъм е един от най-широко приложимите елементарни механизми в съвременната техника. Чрез него ротационното движение на коляното 1 (фиг. 2.1) се преобразува в транслационно за плъзгача 3. Мотовилката - звено 2 извършва сложно равнинно движение.

Фиг. 2.1

Означаваме , , , и проектираме векторния контур , от където следва системата

(2.11)

Решението на (2.11) е

(2.12)

. (2.13)

Диференцираме (2.11) спрямо и след преобразования получаваме първите предавателни функции

(2.14)

. (2.15)

Аналогично получаваме вторите предавателни функции

(2.16)

(2.17)

Геометрични характеристики на кулисен механизъм с начално звено коляно.

Механизмът се състои от следните звена (фиг. 2.2): 1 - коляно; 2 - плъзгач; 3 - кулиса.

Фиг. 2.2

След полагане на , , , и проектиране на векторното равенство

, следва системата

(2.18)

в която неизвестните са , , , но

. Така от (2.18) следва решението

(2.19)

, (2.20)

където:

, (2.21)

. (2.22)

Първите предавателни функции са:

(2.23)

(2.24)

За вторите предавателни функции се получават изразите:

(2.25)

(2.26)

Геометрични характеристики на четиришарнирен механизъм.

Шарнирният четиризвенен механизъм (фиг. 2.3) се състои от коляно 1, мотовилка 2 и кобилица (или коляно) 3. Подобно на предишният случай, тук се полагат , , , и се проектира на векторното равенство , от което следва системата:

фиг. 2.3.

(2.27)

с решение

(2.28)

(2.29),

където:

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Първите предавателни функции са:

(2.34

(2.35)

След диференциране на (2.34) и (2.35) спрямо се получават вторите предавателни функции

(2.36)

. (2.37)

Геометричен и кинематичен анализ чрез планове на положението скоростите и ускорението.

Този вид анализ е базиран на точни графични построения, извършвани с чертожни прибори или CAD програми. Анализът включва следните видове планове:

- план на положението - мащабна кинематична схема на механизма за дадено положение на началното звено. Чрез построяване на множество планове на положението за различни стойности на началната позиция може да се определят дискретни стойности от функцията на положението и точки от траекторията на звена с равнинно движение. Прието е мащабният модул на дължините да се определя чрез

, (2.38)

където е действителната дължина на звеното в , а е мащабната дължина в.

- план на скоростите - графично решение на векторните уравнения на скоростите. Мащабът на скоростите е

. (2.39)

Тук действителната скорост е , а мащабният й образ е . Първоначално се избира произволна точка от чертожната равнина за нулев вектор наречен полюс . Всички абсолютни скорости се чертаят с начало полюса. От кинематичната схема се определят първоначално зададените данни за кинематиката. Две звена свързани със въртящи кинематични двоици имат равни скорости в центъра на шарнира. Свързаните с плъзгачи звена имат една и съща ъглова скорост. В частност когато едното от звената е стойката, следва нулева скорост в точката на въртящата двоица и съответно нулева ъглова скорост за плъзгача. При построяването на плана на скоростите се използват следните векторни уравнения:

Зависимост между скоростите и на две точки и от звено с равнинно движение

, (2.40)

където е относителната скорост на спрямо , перпендикулярна е на правата и е насочена от ъгловата скорост на звеното .

Зависимост между скоростите на две съвпадащи точки от различни звена 1 и 2 при релативно движение . Тук е релативната скорост и има посоката на относителното преместване на двете звена.

- план на ускоренията построява се аналогично на плана на скоростите като тук мащабът на ускоренията е

, (2.41)

където e действителното ускорение и е неговата мащабна дължина. Полюсът на ускоренията е прието да се означава с . Основните векторни зависимости се получават от уравненията на скоростите след диференцирането им спрямо времето. При равнинно движение се получава

’ (2.42)

където са ускоренията на двете точки, е нормалното ускорение, насочено от точка А към В и е тангенциалното ускорение (перпендикулярно на АВ по посока на ъгловото ускорение ). При релативно движение основното уравнение има вида

, (2.43)

където е кориолисовото ускорение с посока на завъртяната на 90° релативна скорост по посоката на . Ускорението се нарича релативно и има направлението на релативната скорост.

Цел на лабораторното упражнение е чрез непосредствено измерване да се получат точки от функцията на положението на елементарни лостови механизми (коляно-мотовилков, четиришарнирен механизъм и кулисен механизъм) като от тези данни посредством числено, или графично интегриране да се намерят предавателните функции и резултатите да се сравнят с теоретичните. Друга задача на анализа е определянето на крайните (мъртвите) положения на механизмите. Проверката на резултатите се извършва чрез графичен анализ и използване на програми за симулиране на механизми.

2. Описание на експериментите

Стендове са показани схематично на фиг. 2.3. За трите вида механизми коляното 1 може да се фиксира спрямо неподвижния диск D, посредством фиксатор F в произволни положения, които се отчитат с помощта на разграфен диск (или фоторастеров преобразовател). Точките от функцията на положението за коляно-мотовилковия механизъм и кулисния механизъм се регистрират чрез часовникови индикатори (или инкрементални линии), а за шарнирния четиризвенник (и кулисния механизъм) - чрез ъглови нониусни скали (или фоторастерови преобразователи).

а) б) в)

Фиг. 2.3

Зададени параметри:

Коляно-мотовилков механизъм

r=0,032 m

l=0,172 m

e=0

s0=……m

Четиришарнирен механизъм

=0,140 m

=0,032 m

=0,140 m

=0,058 m

Кулисен механизъм

=0,190 m

=0,030 m

=0

a=……..m

3.Провеждане на експеримента.

За трите вида механизми, коляното се завърта ръчно като се фиксира на равноотстоящи положения =100. Регистрират се положенията на изпълнителното звено , и данните се нанасят в таблица 2.1. Ако ъгълът на кулисата се измерва косвено чрез часовников индикатор (фиг. 2.3 в), е необходимо индикатора да се настрои на нула при j1=0 ( тогава и j3=0), а позицията на кулисата да се пресмята чрез формулата

(2.44)

Таблица 2.1

| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |  | 340 | 350
s (j3,h) |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
j3 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

4.Обработка на резултатите

Построява се графика на функцията на положението по данните от таблица 2.1. Определят се интервалите в които е възможно да съществуват екстремумите на тези графики (т. е. крайните положения). Стойностите на ъглите на началните звена, съответствуващи на крайните положения се уточняват експериментално и се нанасят на графиката. Ако се докаже, че изследвания механизъм има симетрична функция на положението, е достатъчно да се изследва само половината от нея. Чрез числено диференциране (Вж. Приложение 1) се изчисляват първата и втората предавателни функции и данните се нанасят в таблица 2.2. Със същият мащаб за j1 от графиката на функцията на положението се построяват и графиките на първите и вторите предавателни функции.

Таблица 2.2.

| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |  | 340 | 350

По зададените параметри и формули за съответния тип механизъм за всяка от трите графики се пресмятат по три точки (една от които е за крайното положение) и се прави оценка на точността на експерименталните данни на базата на получените максимални отклонения между теоретични и експериментални резултати. Построява се един план на скоростите и ускоренията и се сравнява точността на метода. Провеждат се демонстрационни симулации на механизмите с подходящи програми. За целта може да се ползва някой от продуктите SAM, ADAMS или LINCAGES.

<<назад съдържание® напред>>

ПРОТОКОЛ

[1] В някои литературни източници се използва терминът позиционна функция.