Лабораторно упражнение №6

<<назад съдържание® напред>>

Лабораторно упражнение N6

# Масови параметри на идеално твърди тела

1. Въведение

Когато създава една машина инженера винаги се стреми да предвиди нейното поведение в различни ситуации. Много често върху съществуващи машини се извършват различни подобрения и модификации целящи по-добрата им работа. Във всички тези случаи е необходимо да се познават масовите параметри на звената от които е съставена машината. Когато тези звена с прости форми с достатъчна точност могат да се използват аналитични формули. За съжаление тези формули са неприложими при звена със сложни повърхностни форми. В тези случаи се използват експериментални методи за определянето на:

- масата на тялото, мярка за неговата инертност при постъпателно движение с мерна единица [kg]

- масовият инерционен момент спрямо дадена ос който е мярка за инертността му при въртеливо движение спрямо тази ос с мерна единица [kg m2]

2. Аналитично определяне масовите параметри на тела.

а) Определяне на масата на твърдо тяло

а) маса на една механична система наричаме сумата от масите на всички точки и тела, които влизат в състава на тази механична система

където mi е масата на iтата точка, Gi=mig - силата на тежестта на iтата точка, G=Gi - силата на тежестта на механичната система.

б) под плътност на тялото се разбира величината [r] е получена от зависимостта

Ако тялото е съставено от един материал или броят на материалните точки n->¥, то тогава за да получим неговата маса се използва зависимостта

б) Определяне на масовия център на тяло

Ще разгледаме тяло, което се състои само от комбинация на елементарни тела цилиндър, прът, пръстен и др. За елементарните тела се знае къде е масовият им център и тогава за общият масов център на системата се използва зависимостта

, където ri е разстоянието между масовият център на елементарното тяло и избраната координатна система. Ако се използват компонентите на векторите ri по координатните оси ri(ri,x,ri,y,ri,z) се получават координатите на масовия център във вида

в) Определяне на масовия инерционен момент на елементарни тела

- Масовия инерционен момент на една механична система състояща се от (n) материални точки, спрямо т. О, оста S или равнината p наричаме сумата от произведенията на масата с квадрата на разстоянията до полюса точката О , остта S и равнината p.

Тук mi е масата на iтата точка, а ri, hi, di съответните и разстояния до т. О оста S или равнината p.

Ако механичната система е твърдо тяло, то броят на частиците n->¥, а масата на всяка точка m->0. Тогава

Масовите инерционни моменти на едно твърдо тяло спрямо елементите на дадена координатна система О x y z се определят по формулите

Тук елементарната маса dm се изразява чрез dm=rdV.

Между различните моменти има следните зависимости

Когато се говори за масов инерционен момент често се използва една производна величина наречена инерционен радиус (i), която е равна на

от формулите се вижда, че инерционния радиус е геометрично равен на разстоянието от т. О оста s или равнината p до една точка, в която мислено е съсредоточена масата на цялата механична система.

Освен горните три масови инерционни моменти има още масов инерционен момент който се определя спрямо две от координатните оси. За идеално твърдо тяло тези моменти са равни на

Тези инерционни моменти зависят от направлението на координатните оси и от избора на координатното начало. Затова те могат да са положителни, отрицателни или равни на нула.

- Теорема на Хюйгенс-Щайнер

Инерционния момент на едно тяло спрямо произволна точка О е равен на сумата от инерционни момент на тялото спрямо масовия център С и произведението на масата М на тялото с квадрата на разстоянието между точките О и С.

По подобен начин могат да се дефинират и зависимости между инерционни моменти на две успоредни оси

За осите на координатната система Оxyz и Оx’y’z’ тези формули приемат вида

Подобна зависимост съществува и между масовите инерционни моменти спрямо равнините, които за координатните системи Оxyz и Оx’y’z’ имат вида

а за центробежните масови инерционни моменти

като тук е особено важно да се държи сметка за знаците на масовите инерционни моменти и на координатите.

3. Задачи

а) Примери за масови инерционни моменти на елементарни тела

фиг. 1

- Кръгов диск ( фиг. 1)

фиг. 2

- Прав кръгов цилиндър ( фиг. 2)

фиг. 3

- Прав правоъгълен паралелепипед ( фиг. 3)

фиг. 4

б) Намерете масата и масовия инерционен момент спрямо масовия център на тялото показано на фигурата ( фиг. 4)

4. Експериментално определяне на масата и масовият център на тела със сложна форми

Тази част от лабораторното упражнение е рутинна и за нея не се изискват никакви специални знания и умения. Предполага се че студентите са запознати с различни видове везни и намирането на масата на тяло чрез везна не представлява трудност. Затова върху опитните образци е нанесена точната стойност на тяхната маса. Студентите трябва да определят положението на масовия център използвайки призма, нишка и отвес или използвайки само призма.

а) Експериментално определяне на масовия инерционен момент на различни тела спрямо ос.

При всички следващи експерименти се използуват свободните трептения на телата, около равновесното им положение. В този случай изхождайки от Втория закон на Нютон и съставяйки уравнението за движение, се определя собствената честота на тялото (), която е свързана с периода на колебание чрез зависимостта Т=2p/wn. Ако отклонението от равновесно положение не е много голямо ( в рамките на 7°) то уравнението за движение може да се линеаризира и тогава намирането на масовия инерционен момент на тяло спрямо точката на колебание е лесно постижим процес.

В повечето случаи точката на колебание не съвпада с масовия център на тялото. За да получим масовия инерционен момент на тяло спрямо ос минаваща през масовия му център (когато е познат масовия инерционен момент спрямо друга точка на тялото) се използува теоремата на Хюйгенс-Щайнер :

където (l) е разстоянието между точката за която е известен масовия инерционен момент и масовия център на тялото.

Използувайки тази обща процедура по-долу ще бъдат намерени масовите инерционни моменти на три тела с различна форма по три различни метода.

б) Метод на физичното махало (Фиг. 5)

При този метод се приема че тялото може да бъде окачено на една призма и да извършва малки колебателни движения около нейния ръб. Тогава съгласно Втория закон на Нютон - инерционната сила е равна на минус момента приложен върху тялото

или общото уравнение за движение има вида

Собствената честота на системата се дава с израза

и следователно за периода на колебание ще получим израза

Фиг. 5

ако този период е известен масовия инерционен момент на тялото спрямо оста z минаваща през т. О е

А масовия инерционен момент на тялото спрямо ос минаваща през масовия център на тялото е

Фиг. 6

Както се вижда единствената величина в този израз, която трябва да се измери е времето (T) за едно колебание на тялото около равновесното му положение.

За правилното извършване на измерването се препоръчва следването на следните стъпки:

- Определяне положението на масовия център на тялото (Фиг. 6)

- С помощта на хронометър се определя периодът на колебание на тялото, като то се отклонява на ъгъл < 7°. За да се повиши точността се измерва 5 пъти времето за 50 колебания на мотовилката. Резултатите от измерванията се нанасят в таблица N1 в протокола за лабораторното упражнение.

в) Метод на еднонишковото окачване

Този метод е приложим само за тела с ос на материална симетрия като най-често това са тела с цилиндрична форма като: бутала, турбини и др. Прилагайки отново Втория закон на Нютон получаваме уравнението

в това уравнение J1 e масовия инерционен момент на тялото спрямо ос минаваща по оста на цилиндъра; c - еластична константа на нишката ; f - ъгъла на завъртане на цилиндъра спрямо маркера. За да може да се линеаризира модела ъгълът на завъртане не трябва да е <7°. При тези условия уравнението за движение придобива вида

Използувайки зависимостта от уравнението за собствената честота получаваме уравнението за времето на колебание във вида

или ако сме измерили времето за едно колебание за масовия инерционен момент получаваме зависимостта

(6.1)

В това уравнение заедно с времето T1 трябва да се познава коравината на усукване (с). Поради редица фактори с течение на времето коравината се променя. Поради тази причина е по-удобно тя да се изключи от уравнението за масовия инерционен момент посредством следната техника. Към тялото, чийто масов инерционен момент търсим се добавя еталонна маса (маса чиито маса и инерционен момент са известни). Тогава уравнението получено по-горе за изследваното тяло се запазва по вид но отделните компоненти в него се променят. Така общия инерционен момент на новото тяло е . При тези условия времето за едно колебание ще бъде равен на

Ôèã. 6

от това уравнение при известно време T2 се получава

Фиг.7

(6.2)

Съвместното решаване на (6.1) и (6.2) позволява да елиминираме коравината (с) и за търсения масов инерционен момент J1 получаваме уравнението

За извършване на експериментите се препоръчва спазването на следната последователност (Фиг. 7) :

- отклонява се тялото от положението на равновесие на ъгъл f£7° и се измерва 5 пъти времето за 50 колебания T1i(50). Резултатите са нанасят в таблица N2 в протокола за лабораторното упражнение.

- към звено 1 се закрепва съосно еталонен диск. Отклонява се ситемата по описания начин и се измерва отново 5 пъти времето за 50 колебания T2i(50). Резултатите се нанасят в таблица N2 в протокола за лабораторното упражнение.

- Определят се периодите на колебание за двата опита като резултатите се осредняват. Това са периодите Т1 и Т2.

- Пресмята се масовият инерционен момент на тялото J1.

г) Метод на дву и три нишковото окачване.

Този метод се използва също при тела с ос на материална симетрия и при него се използва Втория закон на Нютон. Преди да го приложим да разгледаме силите, които действат върху тялото. От розположението на силите на фиг. 8 могат да се получат зависимостите

Тогава момента създаван от силата F1 спрямо ос z е равен

Използвайки момента М в уравнението получено от Втория закон на Нютон то придобива вида

Фиг. 8

от където за инерционния момент на тялото

От това уравнение ако измерим времето Т за едно колебание получаваме масовия инерционен момент на тялото спрямо ос z. Препоръчва се следната последователност при провеждане на опита

- Отклонява се тялото от равновесното му положение на ъгъл f£7° и се измерва 5 пъти времето за 50 колебания T1i(50). Резултатите се нанасят в таблица N3 в протокола за лабораторното упражнение.

- Изчислява се периода на колебание Т като средна стойност на всички измервания.

- Определя се масовия инерционен момент J на тялото.

<<назад съдържание® напред>>

ПРОТОКОЛ